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中の人の徒然草423 集合論の矛盾について考えた休日

3連休なので趣味の読書をしました。色々な本を読んだのですが、一番印象に残ったのは集合論について書籍です。
集合論について記述された専門書を読むと、集合論には矛盾があるとされています。しかし私は、これが矛盾だとは思えませんでした。発明者のカントールも矛盾ではなく、課題だとしているのがその印象を強くしました。数学の専門家ではないので、意味がよくわかっていない所もあるのでしょうが、単純に考えてカントールが発見したものは矛盾ではなく、表現上の不備およびルールの不足によるものだと思いました。
集合論の問題を簡単にいいます。1つめは、順序数集合を作りその集合に番号を付けて集合に入れると、その数値は順序数であるので a < a となり矛盾しているというものです。2つめは、集合の集合を作り、次に冪集合を作ると、濃度が違うので矛盾しているというものです。私にはこれが矛盾だとは思えませんでした。というのも、直ぐに矛盾の正体が分かったからです。
1つめの問題は、順序数を無限に番号付けし、記号を使い果たしたのにも関わらず、また同じ記号を使ったから生じた問題だと思います。集合はそもそも、同じ元を使ってはならない筈です。そうしないと、元が集合に属しているか判別できません。従って、順序数全体の集合を作った時点で、次の番号は違う記号にしなくてはならないのです。同じ記号を使うから、順序数集合の元と一致してしまうのです。本来この2つの元は違うものであり、同じ記号を使うのはおかしいです。同じ記号を使わなければ、順序数全体の集合が属している集合の元をまた加えられます。集合論の矛盾だとは思えません。
例えば、自然数の集合を考えます。自然数の集合は無限に番号を付けられます。その自然数集合を、違う集合の元とします。このとき同じ記号「1」を付けられません。「1」は自然数の元で合って、同じ元を追加してはなりません。同じように見えても、違う「1」なのです。それをはっきりさせるために、自然数が属する集合を考えます。
自然数が属する集合は、整数だと思います。整数には、「自然数」「0」「負数」があります。「0」は自然数に属しないと考えると問題ありません。問題は負数です。負数にも記号「1」があります。これは自然数と同じ1なのでしょうか?もちろん違います。絶対数的には同じですが、同様だと考えると、+なのかーなのか判別できなくなります。それは集合理論「同じ部分集合を二度数えない」に反します。従って、人類は+記号とー記号を考えて元を別物として扱います。
さて、整数の3つの元に番号をつけるとき、どの様に数えたらいいのでしょうか?答えは簡単、-10、-9...0...1...10...と言うふうに番号をつければいいのです。ちなみに、集合に番号をつける場合、1は負数、2は0、3は自然数とすればよいでしょう。ここで大事なのは何の集合化を考える事と、集合を元に持つ集合は違う次元ではなくてはならないと言う事です。すなわち、順序数の集合を順序数の集合に入れる時、番号付けを同じ次元で行っているから問題が生じると思うのです。集合に属するか否かを判定するには、任意の対応(写像/函数)が必要と言う事です。それがなければ、そもそも集合とは呼べません。
2つめの問題は、全ての集合に対する冪集合の濃度についてです。この問題の勘所は、全ての集合で構成される集合の定義だと思います。この世に存在するすべての集合を元とする集合とは、その時点で考えられる集合に過ぎないから矛盾ではないと思います。
例えば、自然数の集合は、数字の集合とも言えます。その冪集合を考えたとき、多次元を表す自然数の組が得られます。この濃度が元の自然数を上回るのは当然です。それと同じで、この世のすべての集合の冪集合を作るとは、新しい集合を考える行為でありなんら矛盾していません。これは「全ての集合の集合」と言う言葉の曖昧さがなせるものです。厳密に現時点での集合を元とすれば何ら問題ありません。
この2つの問題は、プログラミングの世界ではよくある事です。ポイントは無限と再帰です。プログラミングで自然数の集合を実装する時、自然数を生成する関数を考えます。それと同様の考えで、集合を対応(写像)と同様と捉えたとき、この2つの問題は人間が納得できないだけであって、集合論そのものは何ら矛盾していません。人間が無限を認識する時、記号と認識(常識)が理論の理解を妨げるだけだと思います。
ちなみに、濃度については、場合によってはドメイン内の元の個数を考えればよいと思います。微分と似た考えです。無限の濃度を持つ集合の性質を考えるとき、そのまま考えていたのでは人間は理解できません。従って、ある部分を取り出し、その濃度を測定すればよいと思います。
あと、ラッセルのパラドックスについては、補集合を元に含めて考えればよいと思います。「自分自身を元としない集合」とは、要するに自分以外(補集合)を元に取る集合だと思います。それは自然の考えなので、別に問題ないかと思います。他に元があればそもそも問題にならないと思いますし、もし他に元が無ければ、事実上元とするための写像がない空集合ではないでしょうか?
そういった事を考えた楽しい連休でした。カントール有難う!情報技術がある今となっては、ごく自然に発生する考えですが、彼は約100年前の人間です。約100年前に、こんなオブジェクト指向的な事を考える彼は天才です。彼が今の時代に生きていたら、きっとハッカーと呼ばれていたでしょう。
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