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中の人の徒然草432 集合論をオブジェクト指向分析すると・・・

集合論をもっと抽象的に考えると、たった1言で全てを表現できます。

「集合は任意の集合を受け取り、任意の集合を返す対応である。」
※ハッカーが好みそうな再帰構造表現にしています。
※無限を扱う理論ですから、無限構造になるように記述しています。

実際にSetオブジェクトの実装を進めていたら、こうなりました。
それをさらにオブジェクト指向分析すると、この1言が出てきます。
ファジイ集合も考慮した場合、真偽を返すのではなく0~1.0の実数を返すことになります。
しかし、それでもまだオブジェクト指向としては終わりではありません。
もっと抽象化して考えると、何らかの集合を返すと定義したほうが思考ツールとして最高の状態になります。
集合論のパラドックスなんて解決できますし、もっと適用範囲も広がります。
カントールが見た世界は、こんな感じだと推測しています。
やはり、カントールは正しかった。数学の本質は自由なのですね。
彼自身、パラドックスは解決できる問題にしか過ぎないと考えていました。
全てが集合で記述できる世界。なんと天才なのでしょうか。
彼の抽象能力は高すぎます。100年前の人間だとは、とてもじゃないけど思えません。
天才の知的活動に時代なんて関係ないのでしょう。
これだから人間は素晴らしい。それに、世界はこんなに面白い。
この世界は面白いもので満ちています。
この考えを適用すれば、抽象度が高い集合プログラミングと高度な思考ができます。
ちょっと、集合プログラミングぽいものをしてみましたが、非常に面白いですね。
実装としては未完成だから今回は紹介しませんが、後日紹介するかもしれません。
雰囲気だけ書くと、論理型プログラミング+オブジェクト指向プログラミング+関数型プログラミングです。
それにLINQを加えると、非常にクールです。抽象度が非常に高いプログラミングとなります。
OSとかコンパイラの実装には向かないと思いますが(バイナリレベルで最適化した実装ができない)、もっと高い層のものを作るならば有効かもしれません。
趣味の一環としてぼちぼち研究を続けます。
ほかにも研究したいことが山ほどあるんだけど時間が足りない。1日100時間ほどほしいな。
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この記事が気になって仕方ありません
集合論のパラドックスの解決とはどのようなものなのでしょうか
批判的なわけではなく、カントールの素朴な集合論の美しさを捨てたくないのです
その可能性があるのなら
プログラミングとしてでなく
数学としてどのようなものなのか
今更ながら知りたくなりました

Re: タイトルなし

> 集合論のパラドックスの解決とはどのようなものなのでしょうか
私は情報技術者なので、実務で使用するために情報集合論という新しい学問を作成することにより解決しました。
ちなみに、この学問はすごくシンプルです。
従来の数学の範囲内で解決するのはほぼ不可能です。
何故ならば、ラッセルのパラドックスとは、文法的整合性と意味的整合性の分離ができていないから起こることだからです。
という事は、ラッセル達が可能性を示唆していたように、その二つを分けて定義するために、計算モデルの使用が必要となります。
という事で、私としては「情報集合論を作る」というような手法は、正当な手法だと考えています。
なお、プログラミングも見ようによっては数学の一種です。
ならば何故、一々情報集合論を作ったのか(既存の数学は使用しなかったの?)というと、私にとって実務性が何よりも大切だからです。
現実に使えないものは意味がありません。
では、数学的に作れるのかというと答えはYesだと思います。
ただし、数学を拡張するになります。
これが数学として認められるのか、そこが問題となるでしょう。
その時も素朴集合論よりもシンプル(より根源的)になると思います。
何故ならば、シンプルでなければパラドックスは解決しないからです。
要は数学そのものが危機に瀕しているのに、既存の数学にしがみついていて解決できないという事です。
昔の数学者が虚数を拒否したのと同じ感じになるでしょう。
「数学とは何か」その哲学的な部分を数学者たちが合意する必要があります。
それが美しいのかは感性の問題です。
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インドリ

Author:インドリ
みなさん、はじめまして、
コンニチハ。

ボクは、無限の夢(infinity dream)を持つネタ好きな虹色の鳥インドリ(in dre)です。
色々な情報処理技術を啄ばむから楽しみにしてね。

http://twitter.com/indori
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