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情報集合論(仮名) ラッセルのパラドックスについての考察と情報集合プログラミングの原理

 私が新しく考えた情報集合論(仮名)は、ラッセルのパラドックスの扱い方が重要になると思ったので、ラッセルのパラドックスについてメモを取ることにしました。
 書くのが面倒なのでさらりと書いていましたが、ラッセルのパラドックスは深い意味を含んでいます。何かを否定する(x以外)の集合は、何の要素をむのかという問題です。具体的に考えるために、1から10の範囲を考察します。1~10の数値集合に対して1でない場合、要素は2~10です。2でない場合の要素は1と3~10です。以下のようにして全ての否定演算を集めた集合は何を要素とするのでしょうか?1以外の数値集合、2以外の数値集合・・・をすべて集めた場合1~10の数値がすべてそろうこととなり仮定と矛盾しています。ラッセルのパラドックスが我々になげかけているのは「属する」とは何かという深遠な謎です。
 解決不可能なように見えますが、情報集合論においてはパラドックスになりません。何故ならば、素朴集合論では当たり前のように備えていた非等価演算(属さない)も一つの集合とみなすからです。すなわち、1~10の数値といった要素に注目するのではなく、1以外、2以外、という非等価演算の集合とみなすからです。こうすれば、{ x ∉ x }という集合も非等価演算の要素となります。従ってパラドックスになりません。
 素朴集合論の問題は、いきなり論理演算を備えていると仮定している点にあります。この仮定を取り払い、薄皮を重ね合わせるように定義していけば、何ら矛盾は生じません。また、言葉に頼っている点にも問題がありました。人間の言葉は曖昧なので、集合の集合といった言葉に惑わされますが、情報集合論では情報のフィルターと変換をもとにしているので、言葉に頼らず集合の集合のべき集合も普通に定義できます。何故ならば、べき演算も定義されていない集合も視野に入れるからです。そうしていけば、最終的にべき演算を持たない集合に突き当たるので無限再帰になりません。集合の集合の集合は・・・などといった言葉遊びに悩まされずに済むのです。
 情報集合論において何かの集合の部分集合とは、「対応が矛盾しないように並べた結果」なのであって、ただフィルターと変換の規則を並べていくだけで出来上がります。なおかつ、静的な公理群ではなく、動的な関係の構築作業なのでパラドックスが生じにくいです。パラドックスが生じたときは、並び方が間違っているだけなのです。
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テーマ : 数学
ジャンル : コンピュータ

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No title

個人的なメモのようですが、気になることがあるので質問させてください。

>1~10の数値がすべてそろうこととなり
揃うのは10個の集合で、数値ではないのでは?

>仮定と矛盾しています。
数学で言う矛盾は「命題Aと¬Aが両方証明されること」ですが、ここの矛盾とはなんでしょう?

あと、a ∉ B のような式は真か偽の値になるので、{ x ∉ x }だと「真偽値が一つの集合」の外延記法になってしまいます。{ x | x ∉ x }の打ち間違いではないでしょうか?

Re: No title

個人的なメモなので面倒なことは省略しつつ自分がわかるように書いています。
ラッセルのパラドックスはR = { x | x ∉ x }なる集合であり、
素朴集合論では R ∊ R ⇔ R ∊ { x | x ∉ x } ⇔ R ∉ R となる矛盾が生じます。
つまり、R ∊ Rを真とすればR ∉ R は偽,R ∊ Rを偽とすればR ∉ R は真で同時に満たすことはできない事を指しています。
その矛盾を解決するには、{ x ∉ x }を一つの要素と考えたらいいと考えています。
個人的なメモなので正式に書くつもりはありません。
何卒ご理解してください。

No title

ラッセルのパラドックスについては理解していますよ。
私がコメントしたのは、インドリさんが
>1~10の数値がすべてそろうこととなり仮定と矛盾しています
という文で何を表現しているのか解らなかったからです。

それと、型理論や公理的集合論を使えばラッセルのパラドックスを回避できると思うのですが、
それではインドリさんの目的(を私は知りませんが…)に沿わないのでしょうか?

Re: No title

> ラッセルのパラドックスについては理解していますよ。
> 私がコメントしたのは、インドリさんが
> >1~10の数値がすべてそろうこととなり仮定と矛盾しています
> という文で何を表現しているのか解らなかったからです。
>
素朴集合論の各種設定を思い出しながら、ラッセルのパラドックスをよく読んでいただければわかると思います。

> それと、型理論や公理的集合論を使えばラッセルのパラドックスを回避できると思うのですが、
> それではインドリさんの目的(を私は知りませんが…)に沿わないのでしょうか?
はい。公理的集合論は小さくまとまりすぎだと感じて性に合いません。
せっかくカントールが無限に広がる自由な数学を編み出したのだから、数学外まで範囲を広げたいのです。
集合全体の集合とか面白いものがあるのに、それを考えないというのはもったいないです。
型理論はいずれ参考にするかと思います。
私がしたいのは数学枠を超えて、情報技術と合体させ、あらゆる情報に対処する術を見出すことです。
(私の専門は数学ではなく情報です)
これは数ある研究のうちの一つで、気晴らしに知的遊戯としてやっています。
ちょっとした私個人のお遊びです。
プロフィール

インドリ

Author:インドリ
みなさん、はじめまして、
コンニチハ。

ボクは、無限の夢(infinity dream)を持つネタ好きな虹色の鳥インドリ(in dre)です。
色々な情報処理技術を啄ばむから楽しみにしてね。

http://twitter.com/indori
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