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情報集合論(仮名) 濃度についてのメモ

 この記事は自分用のメモです。集合論が提唱する濃度は、無限を区別するという点で画期的でした。しかし、まだまだ不十分です。集合理論といえば、整数と自然数の濃度が同じ事で有名です。これは、個数という点から見れば、問題ないように見えますが、実務的観点からより突っ込んで考えると不十分です。
 今の定義のままですと、「無限は無限なんだよ」と投げているのと同じです。無限は際限がないから、整数と自然数は同じ種類の無限です。しかしながら、より細かく無限を分類することなく、無限は無限だと投げることは、無限を区別するという目的に反しています。この点が集合論のパラドックスにつながっていると思えてなりません。
 整数を任意の数並べても、自然数と同じ個数です。ただ、整数集合を直和分割すると、自然数は半分以下です。それにも拘わらず、自然数と整数の濃度を同じとみなすのは乱暴すぎます。また、集合の集合を考える際に、無限をいったん終わったものとみなす態度と矛盾しています。その論調から言うと、自然数をいったん終わったもの(閉じたもの)として、濃度を考えないと論理的整合性が保てません。
 自然数全体の個数をωとすると、整数集合は必ずωに1対1対応するーωが存在します。つまり、整数集合を2つに直和分割できます。ならば、任意の区画を指定して個数を求めるとき、整数と自然数の個数に2:1の比になるのは明白です。これを念頭に置くと、濃度は任意の区画を指定し、個数を返す関数(写像)とみなせます。
 情報集合論ではその考えをさらに抽象化し、前提となる情報集合は、条件を付加した情報集合よりも濃度が大きいと定義します。そうすれば、濃度がより細かく代数的に区分できます。濃度を代数的に細かく分類することは、集合論のパラドックス解決の糸口となります。
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テーマ : 数学
ジャンル : コンピュータ

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