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情報集合論(仮名) 冪集合の正体についての考察

 この記事は、自分の考えをメモするためのものです。冪集合は要するに、情報の組に過ぎない。すなわち、情報は任意の数組み合わせることができるという事だと思います。それを踏まえて、カントールのパラドックスを考えると、集合の集合は情報の組を含むのか否かが問題になってくると思います。
 情報の組を集合の集合に含むのであれば(おそらくそうだ)、素朴集合論は情報の重複を認めないのですから、いつしか情報が尽きて、そもそも冪演算が実行できない時が来るのでしょうか?この問題については、無限と極限に該当する問題だと思います。人間が知る全ての情報の集合は無限です。ならば、その集合の要素から成る組は無限となります。
 無限個ある情報の組みを作ろうとすれば、濃度の定義から2の無限乗個の情報ができるとわかります。ということは、一応上限の概念があることになります。しかしながら、人間が認識できる情報は人類が存続する限り増えるでしょう。もし、人間の文化が破壊されれば、情報の数は一時的に減りますが、人類が存続している限りまた増えます。
 これらの事から導き出される答えは、任意の集合から生成される冪集合は、集合の場を上限とし、無限大に大きくなるということだと思います。この値は理論的には収束しますが、上限値そのものが常に増加しているので、アキレスと亀状態だといえるでしょう。
 ただしこれは、冪演算を1回しか実行していないときにのみ成り立つ理論かもしれません。冪演算を無限回繰り返すことができるのであれば、情報は無限大に発散するかもしれない。しかしながら、素朴集合は重複を許さないのですから、理論的には組み合わせ数にも無限値の限界があるような気がします。すなわち、上限が変数で常に変動する場合、濃度がどのようになるのかが問題になるのです。
 この問題は宇宙のビッグバン説を連想させます。無限に広がり続ける情報宇宙。ただ、変化するのであれば関数ととらえることができるかもしれない。上限を変数とする関数。もしかしたら、これが無限の正体なのかもしれません。
 今までの考えをまとめると、人の情報N<2のN乗(冪集合)<冪冪集合<...<場の情報量であり、冪集合と場の情報量の間に、無限の距離があるということです。しかしながら、一時的には理論的な上限値が存在するでしょう。それは、無限関数を意味します。この無限関数の定義を目指すと面白いと思います。おろらく、カントールが目指していたものもそれなのでしょう。連続体仮説にその片鱗がうかがえます。残念ながら途中で終わっていますが。。。
 連続体仮説の問題は、実数の濃度を上限としているところです。私は実数の濃度にこだわる必要はないと思えてなりません。また、自然数に拘りすぎていると思います。実数も自然数もただの情報です。情報そのものを変数としてとらえれば、何も自然数や実数に縛られる必然性はありません。私の感覚としては、何らかのオブジェクトです。無限を研究するのですから、数に拘る必要すらないでしょう。ならば...
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テーマ : 数学
ジャンル : コンピュータ

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