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情報集合論(仮名) 情報集合の情報量

 これは自分用のメモです。集合論の濃度と、情報集合論の濃度の定義が違うのにもかかわらず、同じ名前では不都合があります。そこれで、新しい名前を考えました。名前は情報量がふさわしいと思います。意味はその名の通りその情報集合が表現できるインスタンスの数量です。名前だけでは後で読んでもわからないので、濃度の定義と情報量の定義を纏めます。
 集合論における濃度の定義は・・・

集合Aからみて集合Bと1対1の対応がある
  1. 同じものを二度数えない( Aのどの元もBの二つの異なった元と対応している )
  2. 数え漏れをしない( Aのどの元をとっても、それに対応しているBの元がある )

この定義によると、自然数集合と奇数集合の濃度は同じです。これが情報技術としては論理的整合性がなく不便です。確かに有限区間内では関数を一つ用意すると、同じビット数で表現できますが、それだと無限と有限に距離がありすぎますし、変換関数が必要であるという情報が反映されていません。変換関数を用意しないと、整数と自然数では1ビットの差が生じます。たかが1ビットですが、情報技術者としては見逃せません。それで、既存の濃度の定義を拡張します。

集合Aと集合B双方の視点から見て1対1の対応がある
  1. 集合Aと集合Bの対応方法はフィルターである点に注意し、
    双方の集合を追加する要素で構成される区間を考える。
  2. 通常の濃度の定義から集合Aから集合Bの1対1対応を考える。
    ※片方の対応が成り立つ場合、適切な変換関数があれば無理やり有限区間内に押し込められる。
  3. 集合Bから集合Aの1対1対応を考える。
  4. フィルターを通った要素の数をもとに、代数的に情報量を決定する。

例、自然数集合Nと整数集合Zの情報量を計算する。
Nは0以外の数値を通す。従って、0から∞の数を生成する関数ΓをもとにΓ - 1 の情報量を持つ。
Zはマイナス符号を持つ。マイナス符号は2個のパターンを生み出すから 2Γとなる。ただし、-0を認めない場合 2Γ - 1となる。
妥当性を確かめるために、区間 -10 から +10 の要素を通してみる。
Nは10個の要素を通し、Zは21個の要素を通す。従って、情報量が妥当だとわかる。

このΓ関数の名前はどうしようかな?名前がないと不自然だから、源数情報集合(げんすう)としておこう。もしかすると、「数え数」(かぞえすう)とした方がいいかもしれない。源数集合をGとすると、自然数集合Nの定義は{ x | x ∊ G ただし x <> 0 }となる。ただし、情報集合論では属するという概念がちょっと違うから、N{ x : x -|> G | x ≠ 0 }( 情報量I = G - 1 )という具合にしておこう。-|> 記号はフィルターを通す(条件を満たす)という感じがしていいと思う。その逆は、x -<| ( フィルターの壁を越えられなかった )としておきます。紙上でも思考内でも表現できる理論が好ましいから、わかりやすい情報集合論の記号も考えておく必要があります。
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テーマ : 数学
ジャンル : コンピュータ

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