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情報集合論(仮名) 数は何故無限なのか?情報集合論は何のためにあるのか?

 この記事は自分用のメモです。数は無限にあります。しかしながら、何が無限なのかを分析しないで、ただ無限のものとして扱うと危険です。そこで、情報集合論を用いて分析を試みました。数に至る過程は次の通りになると思います。

何らかのもの { | : 存在が認識もしくは反応できるあらゆるもの, > : 情報 }
-|> 人間が認識できる情報 { | : 名前が付けられる, > : 情報集合 }
-|> 人間が記述する記号可能な情報 { | : 文字列で表現できる, > : 記号 }

記号 -|> 数字の最小単位 { | : x = "0", > : ゼロ }
記号 -|> 記号を並べたもの { | : x > 0, > : 記号列 }
記号列 -|> 記号を並べた量{ | : 記号の個数, > : 長さ } ← ここが重要
記号列 -|> 任意の場所にある記号を取り出せる記号列 { | : 要素に等価性がある, > : 記号表 }
記号表 -|> 最後まで取り出すと最初に戻る { | : x = max( x ) -> min( x ), > : 円順記号表 }
円順記号表 -|> 任意の数字で表される数 { | : 指定された記号表にある記号, < : N進数 }

※{}内の「 | 」記号は条件(フィルター)、「 > 」は変換を表わす。
※関数の定義は省略

 これからわかることは、数が無限なのは「長さ」に条件による限りがないからです。記号表が予め用意されており(対応がある)、その記号表を取り出す円順関数があれば、数という情報は成り立ちます。むろん、分配法則などといったものや算術演算は必要ですが、それを言い出すと長くなるので今回は省略します。
 この分析結果から数の本質は1進数にあると私は思いました。つまり・・・
φ -|> 0
0 -|> 1
0 0 -|> 2
0 0 0 -|> 3
...以下省略
です。この記号の対応関係を見れば、小数点表示の
1.001 ← これの情報量は何?
という問題が代数的に解けます。要するに実数の濃度が決まらないのは、これが原因だと思います。しかしながら情報集合論では、この0の記号列を、割り切れるか否かを表わすフラグ=1進数と考え情報量を算出できるのです。
 また、自然数の濃度ℵ0を細分化し、長さ * N進数 = 数の情報無限量と情報量を算出できます。この情報量を何に使うのかというと、必要なビット数の算出ができます。これは、有限区間内に収めるために必要な空間を計測できることを意味します。
 もちろん情報集合論は、情報量だけに意義があるのではありません。この様に情報が成り立つ条件および、その順序を分析することにより、あらゆる学問の構造を分析することが可能となります。私が思うに、人間が考える学問や娯楽といったあらゆるものは「情報」であり、その情報の構造を分析することは可能だと思います。一見、各々の学問につながりはありませんが、「人間の脳が情報を処理する」という点では同じです。従って、そこに注目して分析する学問を作れば、人類が持つ全知識のOSが作れるという事になります。
 集合論が数学を変えたのは、数学のOSと呼べる概念だからです。という事は、抽象度をさらに高めて詳細化すれば、数学に限らず全ての知識を分析できるようになります。分析できれば、知識はさらに発展します。
 こういった発想は情報技術者特有のものだと思います。お客様が何を職業としていても、それは知らないからできないでは仕事になりません。そういったことから、情報技術者は常に他の専門分野(知らない事)を対象領域にします。知らない事をシステム化するには、情報の構造を速やかに分析し、その分析結果を踏まえて改善しなくてはなりません。そういった知らない事から価値を生み出す仕事を10年以上していると、自ずと全知識を処理する方法が身につきます。それを表現したのが情報集合論だといえます。情報集合論を作ってみて、自分の思考過程が少しわかりました。私はお客様と会話するだけでシステムを作れるので(全開発行程の答えが瞬時にわかる)、自分を分析したいと常々考えていました。情報集合論はまだまだ未熟なものの、その一部が分かっただけでもうれしいです。おそらく私の脳内は、こういう具合に情報処理をしているのでしょう。
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テーマ : 数学
ジャンル : コンピュータ

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http://twitter.com/indori
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