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ネタつつき176 - ゲーデルの不完全性定理の先を考えてみた

 実は昨日、ブログを書いていて、第三不完全性定理以降を思いついたので、メモ代わりにこの記事を書くことにしました。
 ゲーデルの第一不完全性定理で[ Sb( a, ν, Z( n) ) ∊ Flag( κ ) ] & [ Neg( ν, Gen α ) ] ∊ Flag( κ ) の条件(肯定と否定を同時に表わす類記号は存在しない)を満たすものがω無矛盾です。
 次にある第二不完全性定理は、Wid(κ) → Not{ Bewκ( 17 Gen r )(矛盾しているは証明可能ではない)です。つまり、ω無矛盾ならばなおさらのこと、κが無矛盾であることを示す文論理式はκ―証明可能ではありません。ある公理系の中では、あらゆる証明規則は再帰的に定義されています。従って、基本算術から証明不可能な要素が入り込み、公理系自身で矛盾を証明することは不可能となってしまいます。
 ゲーデルの第二不完全性定理をクリアーするには、基本算術に頼るのではなく、任意の数の論理式で証明する形にすればいいと思います。ヒルベルトプログラムの問題点は、最終的には基礎算術で証明とするものでした。それ故に、第二不完全性定理が導き出されるのですが、この難題をクリアーするには、問題に応じた論理式で証明可能にしなければならないと私は考えました。何故ならば、「矛盾している」を証明するには、証明式が必要であり、それは公理系における、任意の数の論理式の複合を意味するからです。
 ここでまた問題が発生します。私が思いついた第三不完全性定理が成り立ってしまいます。第三不完全性定理は、「ω矛盾かつ、全ての要素が証明可能になるまで答えを確定しない公理系は、人間の有限性に阻まれ、決して完全にならない」です。何故、答えを確定しないと書いているのかというと、最小の類記号では無矛盾を証明できない事を指し示す必要があるからです。という事は、適切な数の証明式がそろうまで、矛盾式であることを自己証明しなくてはならないわけですが、神ならぬ人の身で、いつ完成したのか判断できない(証明できても確信が持てない)から、常に公理系が不完全になるという事です。
 ここで私は考えを進め、万が一神とさえ呼べるような天才が現れ、あらゆる問題に対して、無矛盾性を証明できる公理系を考え出したとします。その公理系はω無矛盾で、矛盾を証明でき、最小要素も証明できるうえに、適切な証明式が完成するまでサポートできる公理系だとします。しかし、この状態でも不完全性定理が成り立つと思います。
 第四不完全性定理は「あらゆる問題に対して、拡張することにより証明できる公理系は、発明者以外の人間の有限性に阻まれ、その証明は不完全とみなされる。」です。神ごとき人間が考え出した完全な論理は、私たちのような凡人に理解できるはとてもじゃないけど思えません。そして、証明は他者に認めらないと完成とみなされません。という事は、その複雑で完全な理論は万人に受け入れられません。これは歴史が証明しています。
 私は何事も考えを止めません。第四不完全性定理は、時がたてば解決されると思います。これもまた歴史が証明しています。しかしながら、天才の理論を万人が受け入れるには、数百年はかかります。ならば、第五不完全性定理が出現してしまいます。第五不完全性定理「矛盾かつ完全な理論は、時が経つにつれて拡張し、扱う要素が増えていくことにより、不完全性が生じる。」です。万人に受け入れられるまで待っていたら、時の試練により、真実も風化してしまい、元完全な理論になってしまうのは自明(証明するのが面倒だから省略)です。
 ここでもし、新しい神が仮的天才が現れ、新しい完全な理論を考えたとします。すると、今度は第六不完全性定理が成り立ってしまいます。「より完全な理論が存在する理論は完全ではない。従って、未来永劫無矛盾な公理系は存在しない。」です。さすがに、この第六不完全性定理を超える事は原理的に不可能だと思います。何故ならば、第五不完全制定定理を超えるような公理系を発明する人は、その完璧さゆえに、既存の概念を進化させてしまうからです。
 これらの不完全性は、人間の地力が有限であり、1つの真理を分割して考えるから生じるものだと思います。世界の真理集合をAとします。この集合Aと人間の能力集合Bが等価になることはあり得ないと考えてもよいでしょう。従って、任意の数Xの直和分割が可能となります。それらの集合x0~xnは、関係集合r0~rnを生みますから、組み合わせ論的に考えて、爆発的な数の可能性が生まれてしまいます。従って、必ず選択が生じます。選択すれば、他の公理系との差異が生じ、選択する基準が必要となります。この選択基準が完全であることを証明できません。何故ならば、選択公理の証明の選択公理の証明の・・・というふうに無限再帰の証明が必要となるからです。また、真理集合を分割することにより、剰余集合が生じ、必ず不完全性が顔を出します。結局のところ、唯一絶対の真理をそのまま理解できない人間の能力の有限性ゆえに、不完全性が生じる事は防げない(最終不完全性定理)なのです。
 むちろん私が考えた不完全性定理は、不完全な私が考えた定理にしかすぎません。不完全性定理の完全性を証明することは不可能です。悠久なる時を超え、この最終不完全性定理をクリアーする人物が現れる事を願っています。
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