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ネタつつき177 - 不完全性に対する対処法

 私は前回さらなる不完全性定理を示しました。それらの不完全性定理は、一見解決方法がに見えますが、考案者である私はむろん解決方法も思いついています。残念ながら日本では個人の知的財産を守る術がなく、実装する時間的及び金銭的余裕もありません。しかし、不完全性の完全克服に挑む勇者が現れるかもしれないので、解決方法を書くことにしました。
 ゲーデルの第一不完全性定理の解決方法は、文法的に正しいと意味論的に正しいを区別することにより解決できます。第一不完全性定理が発生する原因は、否定のように疑いようもなく文法的に正しいものが、意味的にはおかしいものを受け入れてしまう点にあります。具体的に言えば、関係性で定義しておくと解決できます。
 ゲーデルの第二不完全性定理の解決方法は、開いた公理系を構築すれば解決できます。最小の要素に依存しているので、証明不可能なものが発生してしまいます。そこで、最小の要素は基本算術よりも、もっと根源的な証明可能なものに、証明不可能性を自己表明可能にすればこの問題は解決します。
 第三不完全性定理の解決方法は、機械的に検証可能とすることにより解決可能です。証明を最小要素に依存させずに、任意の数の類記号と関係で証明可能と表現するようにします。ここで問題なのは「本当に正しい証明数なのか否か」ですが、機械的に最小であることをチェックできるようにすれば、誰から見ても納得がいく証明が得られます。
 第四不完全性定理は、任意の類記号の組み合わせだけではなく、厳密でない人間が読むための文などと連携可能とすることにより解決できます。証明が他者に理解されない一番の理由は、数学的記号に不慣れな人にとって意味が分からない事と、任意のメタ記号を作った場合における、最小要素で組み立てる冗長さにあります。そこで、厳密に証明する事だけを考えるのではなく、人間が読みやすい形式との関連を設定することにより解決できます。
 第五不完全性定理の解決法は、論理を拡張可能にし、任意の類記号などを追加できるようににしておき(公理系を閉じたりあけたりできるようにする)、追加後に矛盾が生じたら機械が報告できるようにしておきます。これらば、人間は新しい概念を追加するだけでよくなり、いつ何のために不完全になったのかを把握することが可能となります。新しく発生する不完全さに対処する方法については、やはり人間が解決するしかない問題ですが、ある程度は人工知能で自動修復可能です。
 第六不完全子定理を解決するには、人間側の発想を変えるしかありません。不完全性がない状態、すなわち完全性の定義を、今まで述べた、無矛盾性、自己証明性、矛盾表意性、拡張性などにより行うものとし、それらの要素は、時が関係する(ある数の類記号や関係など)で完全性を自己記述できるようにします。新しい概念が増えていくのは仕方がない事であり、単一の理論が未来永劫に完全になりえませんが、ある地点で完全ならばあり得ます。その地点を判定もしくは表わすことができるようにすれば、その時点での完全性に到達することは可能です。
 最終不完全性定理は、人間という存在そのものの不完全さを表わすので、真の解決は不可能ですが、ある程度緩和することができます。ある要素を細かく分けてアプローチしていく、ヒルベルト的発想だけではなく、その逆に全体像(細部がわからない曖昧な概念)も同時に記述できるにすれば、ある程度完全になります。
 人間の限界が必ずあるはずなので、真の真理ではなく、人間にとっての真理ならば到達可能です。人間にとっての完全な論理体系ならば、いずれ到達できるでしょう。それは喜ぶべき事か、悲しむべき事かわかりませんが、それだけ長く人類が生存してほしいと願っています。
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