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中の人の徒然草463 この世に当たり前なんてない

 私の中にはまだ、不完全性定理の余韻が残っており、昨日は色々考えていました。とくに私は、排中律について思いを巡らしました。排中律というのは「等価性」の事と思うとイメージしやすいと思います。つまり、YesかNoかを決定する性質だ思うとよいでしょう。
 このラッセルのパラドックスとこの排中律が関係しており、ゲーデルの不完全性定理とも関係しています。ですから排中律は非常に重要な要素なのです。排中律を抜きにして、不完全性定理は語れません。
 以前から私は排中律に対して疑いを持っていました。小学生のころ、「1+1=2」にも疑問を持った私ですから、等価性についてもずっと疑いを持っていました。というのも、何かが等しいか等しくないかは、人間が本当に判定できるのか疑問だからです。
 プログラミングでは、この論理式は偽か真かなどと安易に判定しています。ですが、深く考えると、いろいろな疑問がわきます。例えば、80%ぐらい正しい場合、真偽のうちどちらなのでしょうか?この考えを進めると、自然と多値理論になるのですが、そのファージーな定義は本当に正しいのでしょうか?具体的に言うと、ファジーな関数が返す0.1と0.001はどのようにして決定するのでしょうか?ファージー値を厳密に決定できるものなのでしょうか?
 これは哲学的な事も含まれていますが、例えばリンゴは赤か否かという命題があったとします。大概の人は迷わず真だというでしょうが、真実はどちらなのでしょうか?光は室内では反応が異なります。という事は、室内のリンゴは赤ではないかもしれません。そもそも、赤とは何をもって定義しているのでしょうか?私は赤の正式な定義を知りません。人間の間では、それでも良いのでしょうが、世界の真理として考えたとき、全生物が共有する赤の定義を設定できるのでしょうか?人間中心で物事を見ても自然の真実にはたどり着けません。
 真摯に物事の本質を見極めようとするとき、全ての物事に「当たり前」な事なんてありません。現に1+1=2を実装すると、別に2でなくてもよいことに気付きます。要は記号処理なのですから、別の記号でもよいわけです。ならば、本質は2の部分ではなく、見えない部分にあると私は考えています。
 話しが脱線しているように見えるでしょうが、これらの物事と排中律と不完全性定理は関係しています。すなわち、原始関数の定義についてです。等価性を原始関数として設定するのはふさわしいか否かについてよく考えなければなりません。私はふさわしくないと思います。
 等価性はオブジェクトごとに異なります。演算子のオーバーロードをイメージするとよくわかると思いますが、機械的に考えると、オブジェクトごとに等価基準が異なります。オブジェクトごとに異なるものを原始関数として認めると、ゲーデルの不完全性定理から逃れられません。
 私は依然、集合論を知ったとき、集合論の不満点を解消するべく、情報集合論を自分で作りました。
 その時に考えた原子関数が命名の有無です。人は何かを考察の対象にするとき、それを指すものが必要となります。対象を指すことが不可能であれば、考察対象となりえないので、これが原始関数となると私は考えたのです。
 その後、ゲーデルの不完全性定理を調べ、この自分の考えに確信を持ちました。ヒルベルトは算術の定義を証明するべきでした。数学を厳密に再構築したいのであれば、メタ学問から作る必要があります。しかもそのメタ学問は、数学を対象にしたものではなく、人間の思考全てを念頭に置いたものでなければなりません。
 そう考えると、普通の人は馬鹿らしいと思うでしょうが、「思考対象にできるか否か」から出発しなくてはならないと思います。この概念は等価性の根源になると思います。等価性にも階層化が必要です。そもそも、公理と定義で論理構築するのは、ちょっと縛られすぎだと思います。人の思考は時代に応じて変化するものですから、公理などと固定化すること自体が危険です。非ユークリッド幾何学が良い例です。ならばすべてを同列のバイナリにしてしまえば、より柔軟に論理を構築できます。さらに、機械にも人間の思考能力を与える事ができます。
 日記だからリラックスして書いてもよいだろうと考え、自分の日常的に考えていることをだらだらと書きました。
 この世の中は興味深いもので満ち溢れています。「当たり前」だと思う物事も深く考えると面白いです。皆様も一度、お試しあれ。
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