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中の人の徒然草485 些細な疑問だが気になる

 今日、代数学を楽しんでいて、ふと気になったことがあります。それは、環の定義において、2項演算子の関連性が分配法則だけでいいのかという事です。分配法則を満たすのですから、確かに2つの2項演算子には関連性があります。しかしながら、加法と乗法が生成できる元には集合によっては差があります。演算の関連性を定義しなくてよいのでしょうか?関連性の定義が不十分な気がします。加法に相当する対応Aと、乗法に相当する対応Bに、両対応ABについての定義が必要だと思えてなりません。
 一般的にいうと加法の方が、表現できるものが多いです。具体的には、割り切れない数は乗法だけで自然に表せません。加法に相当する対応は可換群だから当然差があります。もちろん、数だけを言えば有理数を使えば問題なしなのですが、それは「有理数」という集合の性質が影響しています。そういったことも含めて、どのような関連性があるのかについての厳密な定義が必要だという気がします。
 何故ならば、数だけを環として考える分には不自由しないのですが、群のように数学の範囲を超えたオブジェクトを分析したい場合、必ずしも加法と乗法のように自明な関係を持っているとは限りません。いえ、それどころか、加法と乗法すら、自明とすらいえないかもしれません。考察対象となる集合を限定しない場合、何でもありです。従って、考察対象の集合が持つ対応ABの関係性の分析も必要となります。つまり、環をもっと活用したい時困るのです。
 もしかしたら、もっと環を学習すればわかるのかもしれませんが、ちょっと気になったので日記に書いてみました。近い将来、そんな簡単なことで悩んでいたのかと思いたいです。
 ところで、加法と乗法の定義も十分ではないような気がします。何をもって加法と呼べばいいのか、何をもって乗法と呼べばいいのかと考えたとき、こんな具合になるかな?

 加法対応の公理
・任意の集合Gに属する全ての元を生成可能である。
・単位元がある。
・単位元をもとに要素を生成可能な対応が包含されている。
※インクリメント演算子のようなもの

 乗法対応の公理
・加法を包含し加法の繰り返しで構成されていなければならない。
※要するに、乗法(x, y)で指定される値yは、加法演算の回数である。

今思いついたことを書いたから抜けがあると思うけど、こんな感じになるかな?環というものは、どれだけの対応関係をカバーするのか、気になります・・・
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