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中の人の徒然草486 分配法則は意外と奥が深い

 昨日、環の定義できになったので、分配法則について考えていました。環には分配法則があるため、2つの2項演算子の間には関係性があります。その関係性がどの程度強いのかと思い、分配法則を考察したところ、結束が結構強いと思いました。分配法則は他方の演算子(対応)を使用するので、自ずと他方の対応が受け入れられる要素でなければならなくなります。それを考えると結構結びつきが強いです。しかしながら、なまじ関係性があるために、色々な疑問がわきます。
 例えば、名前だけが違う内容が同一の対応を指定した場合、それは環として妥当なのでしょうか?環の定義を見ると、同一対応だと駄目だと明記していませんし、片方が余計に条件を満たす場合を禁止していません。これについては、暗黙の了解なのかもしれませんが、暗黙だと仮定すると公理主義的に考えて不十分だと思います。また、加法に相当する対応が、要素(部分集合)の一部だけを使って演算する場合も、処理内容と関係なく、分配法則を満たすこともあり得ます。
 ただし、環の定義を厳密にしすぎると、抽象化のレベルが下がって、余計に適用範囲が狭くなる気がするし、かといって、加法と乗法に関する関係性をどこまで想定しているのか気になるし・・・うーん、どこまで抽象化するべきなのか難しい問題です。
 群は数学以外の実例を見出しやすいですが、環は難しいです。環はおそらく、対応同士の対称性も表しているだろうけど、群・環・体の学習を始めて間もないから、今のところわかりません。非常に興味深い題材です。もっと、学習する時間が取れたらいいのにな・・・
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