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中の人の徒然草487 環は円柱螺旋なのか?

 あれから少し、環論の専門書を読んで感じたのは、螺旋構造であるという事です。環の発想源である整数を分析すると、加法と乗法の関係性は、精密度を表していると思います。何故ならば、明らかに加法を表す関数fをy回数実行したが乗法だからです。ここで問題となってくるのは、どれぐらいの精度があるのかという事です。
 おそらく、環を考える際に重要なのは、対照性を判定しているので、逆演算子の存在です。情報技術者から見れば、「逆」なのは演算子そのものではなく、記号テーブルという気がしますが(操作的意味論の発想)、それは超宣言型である数学には関係がない事ですし、数学は基本的に表示的意味論の分野だと思います。ですから、その点については無視して考えると、問題となるのは、y回数加法&減法を行った際に、その微分がいかに精度が高いのかという点です。乗法演算を自由に微分できるのであれば、それは体になるという気がします。すなわち、微分可能性と記号の表現が関係してくると思います。
 それらの事は、加法⇔減法および、乗法⇔除算でセットで考えるので、分配法則で連結される加法→乗法の関係を幾何学的に脳内で表現すると、2つの輪があり、それが繋がっている姿です。従って、私の心の目には螺旋に見えます。このイメージがあれば、現実世界のオブジェクト分析に役立つと思います。
 ここで興味深いのは、結局のところ乗法は加法の延長線上に存在し、微分可能性および表現(対応する記号)の有無により性質が変わるという点です。これをさらに抽象化して考えると、対応Aから写像される要素から対応Bの線、対応Bから写像される要素から対応Aの線があり、2本線でつながっている螺旋円状であるから、対応Bは対応Aの定義域からはみ出さず、上へと生成される部分集合だと思います。という事は、環の実例は対応Aさえ決めてしまえば、何でもOKですね♪
 なんだかわかってきました。集合における対応Aを群で調べ、その発展版?対応Bを定義し環もしくは体で調べる。そうすることにより、集合そのものの対称性と、演算の対称性を調べることができるという構造のようです。なるほど、ガロアがしたかったことが見えてきました。ガロアが分析対象としたのは5次方程式の解らしいから、対称性を判定しようとしたことも頷けます。そりゃそうなるわ。ただ、もう一つの考えも浮かび上がってきます。
 あくまで記号における問題だから、任意の記号さえ拡大して付け加えれば、5次方程式であろうと、なんであろうと無理やり写像先を作れます。となれば、その解が実用に耐えられるか否かが問題となります。その問題に対応するためには、新しい数オブジェクトを作ればいい。どのようなオブジェクトが扱いやすいのか、それを考えるのは我々情報技術者の得意とする所です。情報技術者は、何でも抽象化して、オブジェクト化するのに慣れているから、数学者からシステム構築の依頼が来れば普通にします。あとは、仕事の依頼が来ていないのに、趣味でそこまでするのは、プロとしてどうなのかという精神的な問題になります。依頼がないという事は報酬が0で虚しいだけだし、納期がないと燃えない。それに、秒進日歩で進む情報技術の学習と、依頼主の業界研究に忙しいし、情報技術の研究(いくつもある)もしているのでそんなことをしている暇がありません。ただ、知的好奇心という観点から見れば、非常に面白い題材です。う~ん、非常に悩ましいです。優先順位としては、0:仕事、1:情報技術、2:業界研究、3:数学ぐらいだから、面白い題材ではあるものの、実際問題どうやってリソースをひねり出すのか...とにかく時間が欲しいです。1日240時間ほどあれば、私の知的好奇心も満足するかもしれません。時間が欲しい!
 あれ?今気づいた。それにしても、群・環・体という理論にはなじみがあるなーと思ったら、私が発明した情報集合論の一部に相当するぞ。細部を言えば違いますが、かなり昔の人が同じことを考えていたと思うと、やっぱり過去の天才はすごい。どんな発明だって、過去の偉人の考え事からはみ出さないという気がします。まぁ、考えてみれば当然の結果かな?人間という制約がある以上、どのような発明であれ、その人間集合の元にしかなりえないのだから。過去の偉人達の考えをかけらも当たらない発明をするには、人間を止めるしかありません。でも、そんなことをする意味がないから、結局のところ、ご先祖様たちに感謝するという結論に至ります。偉人って、本当に偉大だなー。
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