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中の人の徒然草495 零とサッカーに燃える

 FIFAワールドカップ熱いですよね。ここ最近は、サッカーに燃えています。日本が負けたのは残念ですが、積極的で熱く良いプレーをしていましたし、相手もよいチームなので、結果に納得しています。
 ところで、ブログに書くのを忘れていましたが、0に対してエラーを出さない新しい数を考えてみました。名前はまだ決めていないのですが、作用数とか、数の関数拡張と呼んでいます。この数は、数を集合としてとらえて、零を他の次元のものだと考えて生み出しました。
 基本となる考え方は、「個々の数もまた集合と写像である」というものです。この時、関数と数を別物として考えるのではなく、組で考えます。つまり、x * y = xy を2値関数の引数としてとらえるのではなく、「写像していく」として考えます。

 例 5 * 2 = 10
 +5という集合を*2という集合で写像する。その結果は+10という集合である。

 この考えを0に関する掛け算に適用すると・・・

 例 5 * 0 = *5
 +5という集合を*0という集合で写像する。これは0ではない。
何故ならば、5 * 0 の0と、4 * 0 の0は違う集合だからである。
同値とすると、対応関係がおかしくなるからである。
0を定値写像と考える方法もあるが、それではすべての要素が定値となり、使い道がない。
従って、*5などと区別するための記号を付けて、新しい集合とする必要がある。

 私はこんな具合に考えています。ところで、この新しい数は興味深い結果を生みます。それは、*5(零5?)などといった集合に対する、写像に興味深い性質が見られる点です。皆様も一緒に考えてみましょう。*5 に1を加算すれば何になるでしょうか?逆に1を減算すれば何になるでしょうか?

 *5 + 1 = *6 *5 - 1 = *4

理由:
 *5 は通常の5とは違う別の数である。
従って、通常の意味で加算と減算が成り立たないという考え方もできる。
しかしながら、そう考えると、数の抽象度が下がりが実用的なものでなくなる。
また、*5は掛け算と5の組であり、組が持つ要素を、一定のルールで操作できると考えるのが妥当である。
従って、普通に値を加算減算するのが妥当である。

 ここまでは普通の考え方ですよね?面白いのはここからです。加算と減算が許されるのであれば、その結果また0となって、他の数と掛けたらどうなるでしょうか?

 ( 5 * 0 ) - 5  ) * 5 = x 
 x = ( *5 - 5 ) * 5
  x = *0*5 

さて、xは何でしょうか?

 私はこの問題に直面したとき、基本に戻って、この数は「関数と値の組」だという点に注目しました。この考え方から言うと、組を拡張して、列と考えてもよいのではないでしょうか?つまり、( 零の数, 関数, 値 )となる数だと考えるのです。ですから、先ほどの例の答えは・・・ x = **5 だと私は考えています。記号の数を数えたら、零を掛けるというヘマをした回数がわかります。実に面白いです。ちなみに、割り算では*の数を減らします。そうすれば、*5 / 0 = 5 となり元に戻せるようになります。
 ところで、この考え方は新しい疑問を生みます。この数の幾何学的表現はどうなるのでしょうか?私は少し悩みましたが、直感で「3次元デカルト座標にしたら?」と思いました。つまり、先ほどと同様に、この数を列もしくは行列と考えて、3次元のものだと考えるのです。これにより私の中では、0は不可思議な無と無限ではなく、次元が変わるだけの存在となりました。
 少し詳しく言うと、0を掛けたときの値は「上の座標」。0を割った時の数は「下の座標」だとイメージしています。デカルト座標は普通に考えると2次元的なものですが、デカルト座標を1枚の紙として考えると、複数のページがあってもよいと思います。もしくは立方体と考えると合点がいきます。高さという概念を加えるのは、4次元(奥行き、幅、高さ、時間)に生きる私たちとしては普通の感覚なのではないでしょうか?
 通常の計算で0が出たらエラーになるのは、「次元が違う話になるから」だと考えると合点がいきます。私は思考停止が嫌いなので、「0で割ったら無限大だからエラーなんだよ」だとか「0をかけたら終わりなんだよ」という投げやりな態度ではなくではなく、「0を掛けたり割ったりしたら次元が変わるんだよ」の方が良いと思います。
 おそらく、数学者は私の考えが気に入らないでしょうが、私としては、たかが0を使っただけでエラーが出る、既存の仕様の醜さの方が気になります。0を現状のように扱うと、微分積分にも支障が生じており、科学にも影響があります。そんな負の影響を与えるぐらいならば、仕様を直したほうが断然よいです。
 きっと、私がシステム屋だからそう考えるのでしょう。お客様に対して、「0が出たら無理」などといえるはずがありません。システム屋のお仕事は、「無理を可能に」、「矛盾から答えを出す」、「不可能を可能にする」、「解決策を必ず出す」といった暗黙のルールがあります。そういったことから、駄目なものは駄目ではなく、無から有を生み出すのが私のお仕事であり、私の思想なのです。
 それにしても、零というオブジェクトは奥が深いです。今後は代数学的にも分析してみたいと思います。
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